Γιός του μεγάλου Κρίστη Βέβη, δεν θα μπορούσε να ακολουθήσει αλλότρια πορεία, από αυτήν της Απολλώνειας γαλούχησης. Στα δέκα του χρόνια εντάσσεται στις ακαδημίες του Θρύλου και τέσσερα χρόνια αργότερα ο αείμνηστος Ανδρέας Λοΐζου, του δίνει «προαγωγή» στην δεύτερη ομάδα.
Αγωνίζεται για πρώτη φορά με την ανδρική ομάδα το 1974 ενάντια στον Ολυμπιακό Λευκωσίας, σημειώνοντας κιόλας το μοναδικό τέρμα της αναμέτρησης. Μέσος μεγάλης κλάσης ταξιδεύει για την Γερμανία (ελέω σπουδών), συμμετέχοντας στην Γ’ κατηγορία με τα χρώματα της Holstein Keil. Η γερμανική ομάδα κατορθώνει να ανέβει στην Β’ κατηγορία με την αμέριστη συνεισφορά του Βάλτερ Βέβη. Παρόλο που είχε αρκετές προτάσεις για να παραμείνει στο Γερμανικό πρωτάθλημα, έπραξε το δέον για αυτόν, που δεν ήταν άλλο από την επιστροφή του στην ομάδα της καρδιάς του.
Ο αδελφικός φίλος, του μεγάλου μας αρχηγού Γιαγκουδάκη, αγωνίστηκε τόσο στον πρώτο, όσο και στον επαναληπτικό τελικό με αντίπαλο την Ομόνοια Λευκωσίας.
Αλησμόνητη η στιγμή που μετουσιώνει το πέναλτι σε τέρμα, ισοφαρίζοντας για τον Απόλλωνα μας στις καθυστερήσεις του αγώνα. Λόγω τραυματισμού στον αχίλλειο τένοντα, αναγκάστηκε να τερματίσει την καριέρα του, στην πιο ώριμη ποδοσφαιρική ηλικία των 27 χρόνων.
Έμεινε ωστόσο κοντά στις ακαδημίες του συλλόγου, αναδεικνύοντας αρκετά από τα ταλέντα που κόσμησαν το Κυπριακό Ποδόσφαιρο.
Κορυφαία ευρωπαϊκή του ανάμνηση πέρα από τις δύο αναμετρήσεις κόντρα στην Μπαρτσελόνα για τον θεσμό Κύπελλο Κυπελλούχων το 1982, ήταν βεβαίως τα «λάβαρα» που αποκόμισε με την ολοκλήρωση του πρώτου ενενηντάλεπτου.
Ο Βαλτέρ, πλησίασε τον «ομόγλωσσο» του Σούστερ και του ζήτησε να ανταλλάξουν φανέλες. Δεν του έφτανε το ένα λάβαρο, είχε το «θράσος» να ζητήσει από τον Γερμανό και δεύτερο. Ήθελε σώνει και καλά (με την καλή έννοια πάντοτε) και την φανέλα του Ντιέγκο. Όπερ και εγένετο αφού ο Σούστερ πήγε και του την έφερε!!!:
Έτσι ο Βάλτερ Βέβης γίνεται κάτοχος της πρώτης ευρωπαϊκής φανέλας που ίδρωσε ο θρυλικός Ντιέγκο Μαραντόνα!
